TEMA N°8: COMBINATORIA
¿Qué diferencia hay entre una permutación y una combinación?
Normalmente usamos la palabra "combinación" descuidadamente, sin pensar en si el orden de las cosas es importante. En otras palabras:
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"Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas": no importa en qué orden pusimos las frutas, podría ser "bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada. |
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"La combinación de la cerradura es 472": ahora sí importa el orden. "724" no funcionaría, ni "247". Tiene que ser exactamente 4-7-2. |
Así que en matemáticas usamos un lenguaje más preciso:
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Si el orden no importa, es una combinación. |
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Si el orden sí importa es una permutación |
La fórmula para determinar el número de combinaciones es:
nCr = Combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos
Donde se observa que,
La expresión anterior nos explica como las combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos pueden ser obtenidas a partir de las permutaciones de r objetos tomados de entre n objetos, esto se debe a que como en las combinaciones no nos importa el orden de los objetos, entonces si tenemos las permutaciones de esos objetos al dividirlas entre r!, les estamos quitando el orden y por tanto transformándolas en combinaciones, de otra forma, también si deseamos calcular permutaciones y tenemos las combinaciones, simplemente con multiplicar estas por el r! obtendremos las permutaciones requeridas.
Ejemplo: Si se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una campaña pro limpieza del Tec:
- ¿cuantos grupos de limpieza podrán formarse si se desea que consten de 5 alumnos cada uno de ellos?
- ¿si entre los 14 alumnos hay 8 mujeres, ¿cuántos de los grupos de limpieza tendrán a 3 mujeres?
- ¿cuántos de los grupos de limpieza contarán con 4 hombres por lo menos?
Solución:
a. n = 14, r = 5
14C5 = 14! / (14 – 5 )!5! = 14! / 9!5!
= 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9!/ 9!5!
= 2002 grupos
Los siguientes ejemplos son tomados de: https://www.vitutor.com/pro/1/a_c.html
- En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?
No entran todos los elementos.
No importa el orden: Juan, Ana.
No se repiten los elementos.
- ¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres?
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
- A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. ¿Cuántos saludos se han intercambiado?
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
- En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas?
No entran todos los elementos. Sólo elije 4..
No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de anís.
Sí se repiten los elementos. Puede elegir más de una botella del mismo tipo.
- ¿Cuántas apuestas de Lotería Primitiva de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49?
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
- ¿Cuántas diagonales tiene un pentágono y cuántos triángulos se puede informar con sus vértices?
Vamos a determinar en primer lugar las rectas que se pueden trazar entre 2 vértices.
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
Son 
, a las que tenemos que restar los lados que determinan 5 rectas que no son diagonales.
- Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de 5 hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede formarse, si:
1. Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.
2. Una mujer determinada debe pertenecer al comité.
3. Dos hombres determinados no pueden estar en el comité.
- Una persona tiene cinco monedas de distintos valores. ¿Cuántas sumas diferentes de dinero puede formar con las cinco monedas?
TALLER Nº6: MISCELÁNEA
- Con 5 jugadores, ¿de cuántos modos se puede disponer un equipo de baloncesto de 5 hombres?
- ¿De cuántos modos pueden disponerse las letras de la palabra Ecuador, entrando todas en cada grupo?
- Se tiene un libro de aritmética, uno de álgebra, uno de geometría, uno de física y uno de química. ¿De cuántos modos pueden disponerse en un estante si el de geometría siempre está en el medio?
- ¿De cuántos modos pueden sentarse un padre, su esposa y sus cuatro hijos en un banco?
- Hay 10 obreros y 3 empleados; si se eligen 3 de ellos indistintamente, ¿Cuál es la probabilidad de que sean los 3 empleados? (combinatoria)