Tema N°5: homotecia

Cuando se representa un objeto cualquiera, mediante un dibujo en el papel, es preciso cambiar su tamaño sin modificar su forma; este es un interesante ejemplo de homotecia para lograr exactitud en la representación se emplea el procedimiento de dibujo a escala. Este método consiste en representar el dibujo, mediante un segmento apropiado que se escoge, la unidad de magnitud que corresponda al tamaño verdadero.

Todos conocemos y hemos manejado alguna vez un mapa. Los mapas son dibujos  a escala, de regiones geográficas; en ellos aparece dibujado el segmento que representa la escala en la cual se ha trabajado. El mapa es una representación homotética de la realidad.

Con un mapa se pueden determinar, en forma aproximada, distancias entre lugares y áreas o superficies de regiones.

CONCEPTUALIZACIÓN

Una homotecia es una transformación que al ser aplicada a una figura, cambia su tamaño pero mantiene su forma. El efecto de una homotecia sobre una figura es similar al de una lente que amplia o reduce la figura.

El concepto de homotecia es utilizado intuitivamente por fotógrafos, al ampliar o reducir una fotografía; por pintores al realizar dibujos a escala de objetos; por arquitectos al hacer planos de estructuras; incluso por los niños, cuando hacen dibujos difíciles utilizando la técnica de la cuadrícula.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Hallar la imagen del polígono ABCD mediante la homotecia H, con centro en O y factor de conversión 3.

1. Se trazan los rayos que salen del punto o y que pasan por cada uno de los vértices P, S, M y T
2. Con el compás, se toma la distancia entre el centro de la homotecia y uno de los vértices.
3. Se traslada consecutivamente la distancia anterior a partir del centro, las veces que indique el factor de conversión a lo largo del rayo.
4. Se realizan los pasos 2 y 3 con cada uno de los vértices.
5. Se unen, con segmentos de recta, los vértices consecutivos.
6. El polígono P´,S´.M´. y T´es la imagen de PSMT por la homotecia h.

Además debemos tener en cuenta que para hallar la Homotecia de una figura geométrica, se multiplican las coordenadas del cada punto por el factor de dilatación, Ejemplo, si uno de los puntos de la figura es P (-3 , 4 ) y el factor de dilatación es 3; la imagen de P será el punto P’ ( -9 , 12 ) es decir 3* (-3 , 4 )

Ejemplo:

Tenemos un triángulo cuyas coordenadas son:  A (2 , 1 )   B ( 3 , 0 )  y C ( 1, -1 )  y le aplicamos una Homotecia con centro en el origen y factor de dilatación igual a 3.  Como se puede observar cada vértice del triángulo imagen tiene por coordenadas el triple de las coordenadas de los vértices del triángulo original.