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El siguiente texto es tomado de:www.librosmaravillosos.com/miscelaneamatematica/index.html#capitulo07

 

Capítulo 7
El arte de M.C. Escher

Aquello a lo que doy forma a la luz del día es solamente el uno por ciento de lo que he visto en la oscuridad.
M. C. Escher

Hay un sentido evidente, pero superficial, en el que ciertas manifestaciones artísticas cabe denominarlas arte matemático. El arte Op, por ejemplo, es «matemático», pero de un modo que ciertamente no es nuevo. Los dibujos decorativos, rítmicos, geométricos, son tan antiguos como el arte mismo, e incluso el movimiento moderno hacia la abstracción en pintura comienza con las formas geométricas de los cubistas. Cuando el pintor dadaísta francés Hans Arp lanzaba al aire cuadrados de papel de colores y los pegaba con goma en el lugar donde caían, estaba uniendo los rectángulos del cubismo a las gotas de pintura lanzadas por los «action painters». En sentido lato, cabría incluso decir que el arte expresionista abstracto es matemático, por serlo el concepto de aleatoriedad.
Pero al hacerlo, se dilata el concepto de «arte matemático» hasta perder todo sentido. Existe otra acepción más útil del término que se refiere no a las técnicas y modelos sino al tema del cuadro. Un artista figurativo que sepa algo de matemáticas puede hacer una composición sobre un tema matemático de la misma manera que los pintores del Renacimiento hicieron con los temas religiosos o los artistas rusos hacen hoy con los políticos. Ningún artista contemporáneo ha conocido más éxito con este tipo de «arte matemático» que Maurits C. Escher, de Holanda.
«Con frecuencia me siento más próximo a los matemáticos que a mis colegas los artistas», ha escrito Escher; y también ha dicho: «Todos mis trabajos son juegos. Juegos serios.» Sus litografías, grabados en madera, xilografías y mezzotintas cuelgan en las paredes de matemáticos y científicos de todas las partes del mundo. Hay un aspecto surrealista, extraño, en algunos de sus trabajos, pero sus cuadros no son tanto las fantasías oníricas de un Salvador Dalí o un René Magritte como audaces observaciones filosóficas y matemáticas pensadas para evocar lo que el poeta Howart Nemerov, escribiendo acerca de Escher, llamaba el «misterio, absurdo y a veces terror» del mundo. Muchas de sus obras se refieren a estructuras matemáticas que han sido tratadas en libros sobre matemática recreativa; pero antes de pasar a examinarlas digamos algunas palabras sobre el propio autor.
Escher nació en Leeuwarden, Holanda, en 1898 y en su juventud estudió en la Escuela de Arquitectura y Diseño Ornamental de Haarlem. Vivió en Roma durante 10 años. Marchó de Italia en 1934 y pasó dos años en Suiza y cinco en Bruselas, estableciéndose luego en la ciudad holandesa de Baarn, donde se retiró actualmente con su esposa. Aunque su exposición de 1954 en la Whyte Gallery de Washington fue un éxito, sigue siendo más conocido en Europa que en Estados Unidos. Una colección importante de sus obras pertenece al ingeniero Cornelius van Schaak Roosevelt de Washington D.C., nieto del presidente Theodore Roosevelt. Las obras reproducidas en este libro se obtuvieron gracias a la generosa cooperación de Roosevelt y al permiso de Escher.
Escher es famoso entre los cristalógrafos por sus numerosas e ingeniosas teselaciones del plano. Los adornos de la Alhambra prueban los expertos que eran los hispano-árabes en la talla de formas congruentes, repetidas periódicamente en el plano; pero la religión mahometana les prohibía la representación de seres vivientes. Desglosando el plano en figuras de pájaros, peces, reptiles, mamíferos y figuras humanas, como en un puzle, Escher ha logrado incorporar muchas de sus teselaciones en composiciones sorprendentes.
En Reptiles, la litografía que se muestra en la figura 42, un pequeño monstruo sale reptando del embaldosado hexagonal para iniciar un breve ciclo de vida tridimensional que alcanza su cima en el dodecaedro; luego el reptil vuelve de nuevo al plano inanimado.

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Figura 42. Reptiles, litografía, 1943.

En El día y la noche, el grabado de la figura 43, las escenas de la derecha y de la izquierda no sólo son imágenes especulares sino casi el «negativo» una de otra. A medida que el ojo se desplaza del centro hacia arriba, los campos rectangulares se transforman en un mosaico de aves. Las negras vuelan hacia la luz diurna, las blancas hacia la noche. En el grabado circular Cielo e infierno (fig. 44) los ángeles y los demonios encajan perfectamente unos con otros; las figuras, todas ellas semejantes, disminuyen de tamaño al alejarse del centro y se desvanecen finalmente en una infinitud de formas, demasiado pequeñas para distinguirlas. El bien, quizás esté diciendo Escher, es un fondo necesario para el mal y viceversa. Esta notable teselación está basada en un modelo euclidiano bien conocido, ideado por Henri Poincaré, del plano hiperbólico no euclidiano; el lector curioso podrá encontrarlo explicado en Introduction to Geometry (Wiley, 1961) de H. S. M. Coxeter, páginas 282-290.

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Figura 43. Día y noche, grabado en madera, 1938. (Mickelson Gallery, Washington.)

Quien piense que los mosaicos de esta clase son fáciles de inventar, que lo intente. «Mientras dibujo me siento a veces como si fuera médium espiritista», ha dicho Escher, «controlado por las criaturas que estoy conjurando. Es como si ellas mismas decidiesen el aspecto en el que prefieren aparecer... La frontera entre dos figuras adyacentes tiene una función doble, y su trazado es un asunto complicado. A cada lado de ella toma forma simultáneamente un ser reconocible. Pero el ojo y la mente humana no pueden ocuparse de dos cosas al mismo tiempo y por lo tanto tienen que saltar rápida y continuamente de un lado a otro. Quizá sea esa dificultad el verdadero motor de mi perseverancia.»
Haría falta todo un libro para estudiar todas las maneras en las que las fantásticas teselaciones de Escher ilustran aspectos de simetría, teoría de grupos y leyes cristalográficas. La obra ha sido efectivamente escrita por Caroline H. MacGillavry de la Universidad de Amsterdam: Aspectos simétricos de los dibujos periódicos de M. C. Escher; el libro, que ha sido publicado en Utrecht para la Unión Internacional de Cristalografía, reproduce 41 teselaciones de Escher, muchas de ellas en color.

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Figura 44. Cielo e infierno, grabado en madera, 1960.

Las figuras 45 y 46 ilustran otra categoría dentro de la obra del autor, que consiste en jugar con las leyes de la perspectiva para obtener lo que se ha denominado «figuras imposibles».

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Figura 45. Belvedere, litografía, 1958.

Observemos, en la litografía Belvedere, el dibujo del cubo que yace en el suelo. Los pequeños círculos marcan dos puntos en los que una arista cruza a otra. Pero en el modelo que sostiene en sus manos el muchacho sentado, las dos cruces ocurren de un modo que no puede realizarse en el espacio tridimensional. El propio belvedere está construido con estructuras imposibles. El joven encaramado en lo alto de la escalera está fuera del edificio, mientras que la base de aquélla está dentro. El hombre del calabozo quizá haya perdido la razón tratando de compaginar las estructuras contradictorias de su mundo.

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Figuro 46. Ascendiendo y descendiendo, litografía, 1960.

La litografía Ascendiendo y descendiendo deriva de una figura imposible que apareció por primera vez en el artículo «Objetos imposibles: Un tipo especial de ilusión óptica» de L. S. Penrose, un genetista británico, y su hijo, el matemático Roger Penrose (British Journal of Psychology, febrero, 1958). Los monjes de una secta desconocida ejecutan el ritual diario de marchar perpetuamente alrededor de la escalera imposible en el tejado del monasterio, los de fuera subiendo y los de dentro descendiendo. «Ambas direcciones» comenta Escher, «aunque no sin significado, son igualmente inútiles. Dos individuos refractarios se niegan a participar en este “ejercicio espiritual”. Piensan que son más listos que sus compañeros, pero tarde o temprano admitirán que su inconformismo es un error.»
Muchos de los cuadros de Escher reflejan una respuesta emocional de maravilla ante las formas de los poliedros regulares e irregulares. «En medio de nuestra a menudo caótica sociedad», escribe Escher, «simbolizan de manera impar el anhelo de armonía y orden del hombre; pero al mismo tiempo nos asusta su perfección y nos hace sentirnos desvalidos.

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Figura 47. Orden y caos, litografía, 1950.

Los poliedros regulares tienen un carácter absolutamente no humano. No son invenciones de la mente humana, ya que existían como cristales en la corteza terrestre mucho antes de que el hombre apareciese en escena; y en relación con la forma esférica, ¿no está el Universo compuesto de esferas?»
La litografía Orden y caos (fig. 47) representa el «pequeño dodecaedro estrellado», uno de los cuatro «poliedros de Kepler- Poinsot» que, junto con los cinco cuerpos platónicos, componen los nueve «poliedros regulares» posibles. Su descubridor fue Johannes
Kepler, que lo llamó «erizo» y lo dibujó en su Harmonices mundi (Armonía del mundo), una obra numerológica fantástica en la que las relaciones básicas encontradas en la música y en las formas de los polígonos y los poliedros regulares se aplican a la cosmología y la astrología. Al igual que los cuerpos platónicos, el erizo de Kepler tiene caras que son polígonos regulares iguales, y los ángulos en sus vértices también son iguales; pero las primeras no son convexas y se cortan entre sí. Imaginemos que prolongamos cada una de las doce caras del dodecaedro (como el del cuadro Reptiles) hasta convertirla en un pentagrama, o estrella de cinco puntas. Estos 12 pentagramas que se cortan forman el pequeño dodecaedro estrellado. Durante siglos los matemáticos se han negado a llamar «polígono» al pentagrama, porque sus cuatro aristas se cortan; y por razones parecidas no llamaban «poliedro» a esta figura porque sus caras se cortan. Un dato curioso es que hacia mediados del siglo XIX el matemático suizo Ludwig Schläfli, aun reconociendo que algunos sólidos cuyas caras se cortan son poliedros, no incluía entre éstos al erizo, ya que sus 12 caras, 12 vértices y 30 aristas no cumplen la famosa fórmula de Leonhard Euler para esta clase de figuras C + V = A + 2. (Si la cumplen sí reinterpretamos la figura como un sólido con 60 caras triangulares, 32 vértices y 90 aristas, pero en esta interpretación ya no se le puede denominar «regular» puesto que sus caras son triángulos isósceles.) En Orden y caos, la bella simetría de este cuerpo, cuyas puntas se proyectan a través de la superficie de una burbuja envolvente, contrasta con una serie de «objetos inútiles, desechados y ajados», según Escher.
El pequeño dodecaedro estrellado se emplea a veces en apliques luminosos. Ignoro si algún fabricante de adornos para árboles de Navidad lo ha vendido como estrella tridimensional para rematar el árbol. No es difícil hacer un modelo de cartón. H. M. Cundy y A. P. Rollett, en Modelos matemáticos (Oxford University Press, edición revisada, 1961), aconsejan no construirlo partiendo de su desarrollo, sino hacer primero un dodecaedro y luego pegar pirámides pentagonales a cada una de las caras. Digamos de pasada —y eso ya lo observó Kepler— que la longitud de cualquier segmento del esqueleto de este sólido está en razón áurea a la de cualquier segmento de longitud inmediatamente superior. El dual poliédrico de esta figura es el «gran dodecaedro» cuyas caras son 12 pentágonos regulares. A los lectores interesados en los poliedros estrellados de Kepler-Poinsot se les recomienda el libro de Cundy y Rollett, así como Regular Poly topes, de Coxeter.
La litografía Mano con un globo reflectante (fig. 48) aprovecha una propiedad de los espejos esféricos para representar lo que el filósofo Ralph Barton Perry gustaba de llamar el «predicamento egocéntrico». Todo lo que una persona puede conocer acerca del mundo se deriva de aquello que entra en su cerebro a través de los órganos sensoriales; hay un sentido en el que uno no experimenta nada excepto aquello que está dentro del círculo de sus propias sensaciones e ideas. Partiendo de esta «fenomenología» construye lo que cree es el mundo externo, incluyendo a aquellos otros que parecen tener sus mentes en predicamentos egocéntricos como el suyo.
Sin embargo, estrictamente hablando no hay modo de que pueda probar que algo existe, fuera de él mismo y sus pensamientos y sensaciones cambiantes. En el grabado se ve a Escher contemplando su imagen reflejada en la esfera. El cristal refleja el entorno y lo comprime en un círculo perfecto. Mueva como mueva o gire la cabeza, en el punto medio entre sus ojos quedará exactamente en el centro del círculo. «No puede salir de ese punto central», dice Escher. «El ego permanece siendo el centro inamovible de su mundo.»

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Figura 48. Mano con globo reflectante, 1935.

La fascinación que siente Escher por los temas topológicos se expresa en muchos de sus grabados. En la parte superior del grabado en madera Nudos (fig. 49) vemos las dos imágenes especulares del nudo en trébol. El nudo de la izquierda está hecho con dos largas cintas planas que se cortan en ángulo recto, dando un giro a la tira doble antes de unirla a sí misma. ¿Es una sola banda de una cara que da dos vueltas alrededor del nudo, cortándose a sí misma, o consiste en dos bandas de Möbius distintas que se cortan?

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Figura 49. Nudos, grabado en madera, 1965.

El nudo grande tiene la estructura de un tubo de cuatro lados al que se le ha dado un giro de un cuarto, de tal forma que una hormiga, andando por su interior sobre uno de los caminos centrales, describiría cuatro circuitos completos antes de llegar al punto de partida.
El grabado en madera Tres Esferas (fig. 50), una de cuyas copias se exhibe en el Museo de Arte Moderno de Nueva York, parece a primera vista una esfera sometida a un aplastamiento topológico progresivo. Pero si se mira con más atención se verá que es algo muy diferente. ¿Averigua el lector lo que Escher, con gran verosimilitud, ha representado aquí?

Anexo

Cuando Escher murió en 1972, a la edad de 73 años, comenzaba justamente a ser mundialmente famoso; no sólo entre los matemáticos y científicos (que fueron los primeros en descubrirle), sino entre la gente en general, especialmente entre la joven contracultura.

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Figura 50. Tres esferas, grabado en madera, 1945.

El culto a Escher sigue creciendo hoy día. Sus cuadros se ven en todas partes: en las cubiertas de los libros de matemáticas, en álbumes de música «rock», en posters psicodélicos que brillan a luz negra, e incluso en camisetas.
Hacia la época en que incluí por primera vez un grabado de Escher en mi columna de Scientific American (fue en el número de abril de 1961, cuya portada reproducía una de sus teselaciones de aves), le compré al autor uno de sus grabados en madera. Por 40 ó 60 dólares cada uno podía haber comprado centenares de cuadros que ahora valdrían miles de dólares. Pero, ¿quién hubiese aventurado entonces el sorprendente crecimiento de la fama de Escher?
Se ha escrito tanto sobre Escher en los últimos años que solamente he intentado reseñar en mi bibliografía unos cuantos libros principales. La obra de Abrams contiene las reproducciones mejores y más completas de los trabajos de Escher, varios artículos sobre su arte (entre ellos uno del propio Escher) y una lista excelente de referencias bibliográficas. El largo artículo de Ken Wilkie contiene muchas obras hasta entonces inéditas de Escher, así como detalles poco conocidos acerca de la vida privada y las ideas del artista. Holland Herald es una revista en inglés que se publica en Holanda.
La colección de obras de Escher de Cornelius Roosevelt pertenece ahora a la Galería Nacional de Arte de Washington D.C.

Soluciones
Tres esferas es una representación de tres discos planos pintado cada uno de forma que simule una esfera. El disco de abajo está colocado horizontalmente sobre una mesa. El del centro está doblado en ángulo recto a lo largo de un diámetro. El superior está puesto verticalmente sobre la parte horizontal del disco del medio. La pista la dan la línea de pliegue del disco central y el idéntico sombreado de las tres pseudoesferas.