Se forman varios cuadrados unidos, uno después de otro.¿Cuántos fósforos se necesitan para formar 1, 2 y 3 cuadrados?
¿Cuántos fósforos necesitaré para formar 7 cuadrados?
¿Cuántos fósforos necesitaré para formar 20 cuadrados?
Actividad N°2:Organización de baldosas
Una baldosa cuadrada, necesita de cuatro baldosas triangulares para rodearla completamente.
Dos baldosas cuadradas requieren seis baldosas triangulares para rodearlas completamente.
• ¿Cuántas baldosas triangulares se requieren para rodear completamente tres baldosas cuadradas ubicadas como lo indica la figura 3?
• ¿Y para rodear completamente cuatro baldosas cuadradas?
• ¿Cuántas baldosas triangulares se necesitan para rodear cinco baldosas cuadradas?
¿Cuántas para rodear ocho baldosas cuadradas?
• ¿Cuántas baldosas triangulares se necesitan para rodear 15 baldosas cuadradas?
• Completa la siguiente tabla:
Analiza cada arreglo buscando una relación en el orden en que aparecen. Es decir, partiríamos de 1, 2, 3, 4,… que corresponden a los números naturales. Para el primer arreglo se requieren 4 baldosas. El segundo arreglo cuenta con 6 baldosas. Para el tercer arreglo se necesitan 8 y para el cuarto, 10. Observa que los números de baldosas triangulares son pares y que el cambio de un caso a otro implica sumar 2.
Las operaciones de multiplicación en el sistema algebraico se representan con un punto o sin ningún signo. Por esta razón, de ahora en adelante representaremos dicha operación sin signo. Entonces la expresión de los números pares quedaría: 2n siendo n un número natural. Ya encontrando la expresión del número par sabemos que se le agrega dos a cada caso. Entonces la expresión que modela la situación del número de baldosas triangulares que rodean baldosas cuadradas, sería: 2n + 2. Para comprobar si dicha expresión general me permite calcular el número de baldosas triangulares, se verifi ca para algunos casos.
Para n = 1
Se reemplaza n por ese valor. Al realizar los cálculos:
2(1) + 2 = 2 + 2 = 4
Este valor es cierto para una baldosa cuadrada: se necesitan cuatro baldosas triangulares.
Para n = 2, al reemplazar se tiene:
2(2) + 2 = 4 + 2 = 6
Este valor es cierto para dos baldosas cuadradas: se necesitan seis baldosas triangulares.
Para n = 3, al reemplazar se tiene:
2(3) + 2 = 6 + 2 = 8
Este valor es cierto para tres baldosas cuadradas: se necesitan ocho baldosas triangulares.
• Comprueba para n = 4, n = 5 y n = 15.
La expresión 2(n) + 2 = 2n + 2 es la generalización o fórmula algebraica que nos permite calcular la cantidad de baldosas triangulares, que hay alrededor de cierta cantidad
de baldosas cuadradas.
Actividad N°2:
Uso del lenguaje simbólico
Una confusión cotidiana - Franz Kafka (1883-1924)
Un incidente cotidiano, del que resulta una confusión cotidiana. A tiene que concertar un negocio importante con B en H. Se traslada a H para una entrevista preliminar, pone diez minutos en ir y diez en volver, y se jacta en su casa de esa velocidad. Al otro día vuelve a H, esta vez para cerrar el acuerdo. Como probablemente eso le exigirá muchas horas, A sale muy temprano. Aunque las circunstancias (a lo menos en opinión de A) son precisamente las de la víspera, tarda diez horas esta vez en llegar a H. Llega al atardecer, rendido. Le comunican que B, inquieto por su demora, ha partido hace poco para el pueblo de A y que deben haberse cruzado en el camino. Le aconsejan que espere. A, sin embargo, impaciente por el negocio, se va inmediatamente y vuelve a su casa.
Esta vez, sin poner mayor atención, hace el viaje en un momento. En su casa le dicen que B llegó muy temprano, inmediatamente después de la salida de A, y hasta se cruzó con A en el umbral y quiso recordarle el negocio, pero que A le respondió que no tenía tiempo y que debía salir en seguida.
A pesar de esa incomprensible conducta, B entró en la casa a esperar su vuelta. Ya había preguntado muchas veces si no había regresado aún, pero seguía esperándolo siempre en el cuarto de A. Feliz de hablar con B y de explicarle todo lo sucedido, A corre escaleras arriba.
Casi al llegar, tropieza, se tuerce un tendón y, a punto de perder el sentido, incapaz de gritar, gimiendo en la oscuridad, oye a B –tal vez muy lejos ya, tal vez a su lado– que baja la escalera furioso y que se pierde para siempre.
Reflexiona y realiza
1) ¿Quién fue Franz Kafka? ¿De qué otras obras es autor?
2) Respondan las siguientes preguntas, de acuerdo al texto:
a) ¿Quiénes son A y B?
b) ¿Qué es H?
c) ¿Es posible pensar, de acuerdo al texto, que A y B son lugares y H es una persona?
d) ¿Cómo el autor nos induce a interpretar correctamente los símbolos: A; B y H?
e) ¿Existe un único elemento para reemplazar a cada uno de ellos?
f) ¿Por qué habrá utilizado estos símbolos, en lugar de nombres propios?
g) ¿Encuentran alguna similitud entre este modo de utilizar los símbolos y la manera en
que se enuncian, habitualmente, propiedades y fórmulas matemáticas?
Tomado de: https://funes.uniandes.edu.co/5231/1/ZapicoMatem%C3%A1ticaALME2007.pdf
Actividad N°3:
• Completen la tabla.
• Usen una letra para representar el número de lados del polígono.
• Teniendo en cuenta los datos de la tabla, escriban una relación entre el número de lados del polígono y el número de diagonales que se pueden trazar desde uno de sus vértices.
• Utilicen la relación obtenida en el paso anterior, e indiquen: ¿cuántas diagonales se pueden trazar desde un vértice de un polígono de ocho lados?, ¿de uno de diez lados?, ¿y de 15 lados?
¿Qué es una expresión algebraica?
En nuestro ejercicio de activación encontramos que para encontrar la cantidad de fósforos que se requerian para formar 20 cuadrados estaba dado por la fórmula: 3x + 1, está es una expresión algebraica donde 3 una constante, x es la variable y 1 un término independiente. Esta expresión algebraica puede leerse como el triple de un número mas uno.
Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones. Por ejemplo: 3x⁵y⁴, 2m³ + n, 2ab + 3b² – 8 son expresiones algebraicas.
Un término es una expresión algebraica que consta de uno o varios símbolos, no separados entre sí por operadores aditivos (+ ó -)
Revisemos estos conceptos a partir del siguiente juego:
En el siguiente video podrás afianzar un poco más en el tema
Los siguientes son ejemplos de las expresiones algebraicas más usadas, en forma verbal y escrita:
La suma de dos números a + b
La resta o diferencia de dos números x – y
El producto de dos números ab
El cociente de dos números x/y
El cociente de la suma de dos números, sobre la diferencia a+b/a-b
El doble de un número 2x
El doble de la suma de dos números 2(a+b)
El triple de la diferencia de dos números 3(x-y)
La mitad de un número x/2
La mitad de la diferencia de dos números (x-4)/2
El cuadrado de un número x2
El cuadrado de la suma de dos números (x+4)2
El triple del cuadrado de la suma de dos números. 3(x+4)2
La suma de 3 números a+b+c
La semi suma de dos números. (a+b)/2
Elementos de una expresión algebraica
Los elementos de una expresión algebraica son:
Coeficiente: la parte numérica del término.
Parte literal: las letras o variables de la expresión.
Signo: el símbolo que indica si el término es positivo (+) o negativo (-)
Exponente: los números que están arriba de las letras y me indica cuantas veces se repite.
Clasificación de las expresiones algebraicas
Las expresiones algebraicas se clasifican según el número de términos en monomios y polinomios.
Monomio: está formado por un coeficiente y por una parte literal. Ejemplos:
8x 2x⁴
3x
– 3xyz
127ab⁴c⁷
Polinomio: una expresión algebraica de dos o más términos. Ejemplos
3b² + 3ab – 7abc + 6ac³,
–5x² + 2xy⁴ + 6x³ y² – 12y³
De acuerdo a la cantidad de términos, el polinomio recibe denominaciones particulares como: binomio o trinomio
· Binomio: un polinomio que consta de dos términos. Por ejemplo: 4b + 3b³c, 3x³yz² – 3ab² ·
Trinomio: un polinomio que consta de tres términos. Por ejemplo: 3b² – 3ab +7abc, x² + 2xy + y²
Valor numérico de expresiones algebraicas
En el ejemplo de la formación de cuadrados con fósforos al comienzo de la sección 1, la cantidad total de fósforos que se necesita para formar n cuadrados es 3n + 1.
Para encontrar la cantidad de fósforos que se necesita para formar 50 cuadrados, ¿qué se hace? ¿Cuántos fósforos se necesitan?
Se sustituye n por 50, es decir 3n + 1 = 3 x 50 + 1 = 150 + 1 = 151 (fósforos)
R: 151 fósforos.
El valor numérico de una expresión algebraica es el valor obtenido al sustituir las variables por números .
