Tema N°11: Pendiente

 

Gráfica las siguientes funciones (reemplaza x en cada función por los siguientes valores: x = -3, -2,-1, 0, 1, 2, 3)

¿Qué conclusiones podemos sacar del ejercicio anterior?

 

 

Todas las funciones, excepto f(x) = 2x2 – 3 se representan gráficamente por medio de una línea recta, y su estructura es:

Estas funciones reciben el nombre de FUNCIONES DE GRÁFICA LINEAL.

EJEMPLO: Un automóvil sale de una ciudad A con una velocidad constante de 60km/h.¿A qué distancia de la ciudad se encontrará el automóvil al cabo de 1 hora, 2 horas, 3 horas, etc?

Para darle solución al problema, vamos a realizar una tabla de datos:

Vemos que en cada hora, la distancia recorrida por el automóvil se halla multiplicando la distancia recorrida en una hora por el número de horas transcurridas en cada momento. Por lo tanto, para cualquier tiempo t la distancia equivale a 60t. entonces podemos decir que la distancia se encuentra en función del tiempo. Esto se representa simbólicamente como D = f(t) =60. t siendo D la distancia, y t el tiempo. La representación gráfica de esta situación es la siguiente:

De todo lo anterior, podemos dar la siguiente definición:

INTERSECCIÓN CON LOS EJES

EJEMPLO

Sea f(x) = 3x + 2  una función de gráfica lineal. Realizar la gráfica de esta función y encontrar los puntos de corte con los ejes del plano cartesiano.

Solución:

Tabulamos algunos puntos:

Para encontrar las intersecciones con los ejes se procede de la siguiente manera:

Intersección con el eje x: en este punto, el valor de y es cero (x,0), por lo tanto:

Si y = 0 entonces 0 = 3x + 2                3x = -2                 x = -2/3

Intersección con el eje y: para este punto la componente x se hace o: (0,y)

Si x = 0 entonces y= 3(0) + 2         y = 2

EJERCICIOS

1. Una fábrica de zapatos vendió en dos meses, en promedio, 500 pares y en ocho meses vendió 1 100 pares. ¿Cuántos pares de zapatos venderá en x meses? Haga una gráfica meses-pares vendidos que represente la situación.

2. Traza las siguientes funciones de gráfica lineal:

3. Representa en forma de función las siguientes situaciones:

   1. El costo de n artículos si cada uno tiene un valor de $ 3 500.

   2. La cantidad de viajes mensuales que realiza un camión si cada día realiza 6 viajes.

   3. El recaudo por las entradas a un evento si cada una cuesta $ 8 000.

PENDIENTE DE UNA RECTA

Todas las funciones lineales tienen en común su estructura algebraica (ya sea y= mx + b ó Ax +By +C = 0) además de su forma gráfica. Pero cada una de estas rectas muestra una característica propia y es su inclinación con respecto al eje de las abcisas (eje x).

Este grado de inclinación con respecto al eje x recibe el nombre de Pendiente de la recta.

En la ecuación y = mx + b la pendiente se identifica fácilmente ya que es la constante que acompaña a x, es decir el valor numérico m. Esta cantidad nos indica la inclinación de la recta con respecto al eje x.

CALCULO DE LA PENDIENTE DE UNA RECTA

Sean P = (x1, y1) y Q = (x2, y2) dos puntos cualesquiera, y r la recta que pasa por dichos puntos.

La pendiente m de la recta r, se define como la razón entre la diferencia de los valores de y sobre los valores de x. La variación en y se expresa como y2 –y1, y la variación en x se expresa como x2 – x1, por lo tanto la razón entre estas diferencias se expresa mediante la igualdad

Ejemplo: Dados los puntos (3,6) y (5, 10), hallar la pendiente de la recta que pasa por dichos puntos.

Solución: Tomemos el punto (3,6) como (x1, y1) y el punto (5,10) como (x2, y2). De acuerdo con la definición, el valor de la pendiente de la recta que pasa por estos puntos es: