Tema N°7: Funciones

1. Observa el video.

2. Conceptualización

¿Qué es una función?

Cuando a cada elemento de un conjunto le corresponde solo uno del otro, se habla de función. Esto quiere decir que las funciones matemáticas siempre son, a su vez, relaciones matemáticas, pero que las relaciones no siempre son funciones. Pór ejemplo, la correspondencia que hay entre los alumnos de una clase y las bancas que ocupan es un ejemplo de función.

Diremos que y es función de x y escribiremos y= f (x) o también x f(x)

x: Variable independiente

y: variable dependiente

f (x): imagen de x

Cuando los conjuntos x y y de una función son conjuntos numéricos, se dice que la función es numérica. Las funciones numéricas se pueden representar por una expresión algebraica, una tabla o una gráfica en un sistema cartesiano.

¿Cómo diferenciar una función de una relación?

La clave está en el tipo de "asociación" que se tiene entre los dos conjuntos de números. Una función puede asociar varios valores de x hacia un valor de y, pero nunca varios valores de y para uno de x, por otra parte, una relación no tiene esta restricción y es por eso que se le considera una forma más general, de modo que una relación puede ser función pero no al revés. Estas asociaciones pueden verse a continuación:

Forma en la que se relacionan dos conjuntos de números según sea función o relación.

Determina cuáles de los siguientes conjuntos representan una función

A. { (1,2), (2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7) }__________

B. { (1,1), (2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6) }__________

C. { (1,1), (2,3),(3,3),(4,8),(5,3),(6,2) }__________

D. { (1,2), (1,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,8) }__________

E. { (1,2), (2,3),(3,4),(4,5),(4,6),(5,7) }__________

Criterio de la línea recta

Las relaciones también pueden representarse de manera gráfica y pueden distinguirse fácilmente si la relación es función o no.

Gráficas de diferentes relaciones.

Para identificar una función de una relación según la gráfica consideremos lo siguiente:

Se traza una línea vertical (línea roja)

Se inspecciona las intersecciones entre esta línea y la relación

Si la línea solo intersecta una vez, entonces la relación es función

Si la línea intersecta más de una vez, entonces la relación no es función.

Variable dependiente e independiente

En las siguientes afirmaciones identificar cuál es la variable dependiente y cuál es la variable independiente.

A más horas trabajadas por una persona, mayor es el sueldo.
El dinero que se paga por cierta cantidad de esferos es mayor cuando hay más esferos.
La distancia recorrida por un camión a velocidad constante, es mayor cuando ha transcurrido más horas.

Escribir cada situación como una función en forma algebraica

El precio de venta V de un artículo, es el doble del precio de compra C del artículo, más 500 pesos.
La cantidad de pasos de una persona P en cierto trayecto, es el triple de pasos dados por un niño menos uno.
El dinero d pagado por el transporte a cierto lugar es de $ 900 por persona p.

Dominio y rango de una función

Dominio

El dominio de la función es el conjunto de todos los valores posibles de la variable independiente. Es decir, el dominio es el valor de todos los valores de x que funcionarán y harán que la función retorne valores reales de y.

¿Cómo encontrar el dominio?

Podemos determinar el dominio de la función al buscar los valores de la variable independiente (usualmente la x), los cuales sí podemos usar en la función. Usualmente, esto implica evitar valores que producen un 0 en el denominador de fracciones o evitar tener valores negativos dentro de raíces cuadradas.

Entonces, para encontrar el dominio, lo importante es recordar que:

El denominador de una fracción no puede ser cero.
El número dentro de una raíz cuadrada debe ser positivo.

Rango

El rango de la función es el conjunto de todos los valores posibles de la variable dependiente luego de haber sustituido el dominio. Es decir, el rango son los valores resultantes de y que obtenemos después de haber sustituido todos los posibles valores de x.

¿Cómo encontrar el rango?

El rango de una función es el conjunto de valores de y desde el valor mínimo hasta el valor máximo.

Podemos sustituir algunos valores de x para determinar lo que sucede con los valores de y. Podemos averiguar si es que los valores de y son siempre positivos, siempre negativos.

Asegúrate de encontrar los valores mínimos y máximos de y.

Traza una gráfica básica para visualizar el problema.